矩阵位移法

在结构力学的计算中，通过采用对结点位移作为基本未知量，进而通过矩阵的形式对各基本参数进行组织，编排，求出未知量的方法，称为矩阵位移法。矩阵位移法常用的单元形式为一直杆。矩阵位移法与结构力学的力法和位移法相对应，也就是结构的矩阵分析方法。矩阵位移法便于编制程序，因而在工程界得到广泛应用。因为位移变换矩a的阶数相当高，运算中须占大量的存贮单元,因而在组合整体刚度矩阵时,常采用直接把单元刚度矩阵的元素输送到K中的直接刚度法，该方法是将各单元中相同脚标的元素直接相加而组成整体刚度矩阵。[1]

特点

矩阵数学表达力强

矩阵数学表达力强，运算简洁方便并且适于计算机组织运算，是用计算机进行结构数值分析的最强有力的数学工具。

矩阵位移法与结构力学的力法和位移法相对应，也就是结构的矩阵分析方法。

矩阵位移法方便编制程序

矩阵位移法便于编制程序，因而在工程界得到广泛应用。

矩阵位移法并不因采用矩阵数学的描述手段，而改变位移法的基本原理。它与位移法的区别仅仅在于表达形式不同。

矩阵位移法的基本原理

按位移法的基本原理运用矩阵计算内力和位移的方法。是结构矩阵分析方法中的一种，其基本未知数是结点位移，由于矩阵位移法较矩阵力法更适宜编制通用的计算程序，因而得到了更为广泛的应用。

结构矩阵分析方法首先把结构离散成有限数目的单元，然后再合成为原结构，因而也属于有限元法。矩阵位移法常用的单元形式为一直杆。对于曲杆，如拱结构，虽然也可取曲杆作为单元,但单元分析较烦,为简化起见，可将它化成折线来处理，每一直线段作为一单元。当单元承受非结点荷载时，可用等效结点荷载代替。其方法是将单元间的分界结点作为固端求出固端反力，然后反其向作用在结点上。

根据结构变形后要满足几何方面的相容条件（变形条件）,结点位移矩u与杆端位移矩之间存在关系式

(1)式a表示u的变换矩阵。

杆端位移矩与杆端力矩s之间的关系式为s=k

(2)式km称为未装配结构的刚度矩阵，它等于各单元刚度矩k(i)作为子块的对角矩阵。其元素可直接按结点单位位移引起的反力而求得。由于单元坐标并不一定是整体结构坐标，因而求得的单元刚度矩k(i)需通过坐标变换转化为整体坐标下的单元刚度矩阵。

根据结点作用力与汇交于该结点的杆端力保持平衡关系，可以得到杆端s与结点作用的关系式为=ds(3)式d为杆端力矩s对结点作用力矩的变换矩阵。

根据虚功原理，可daT。

根据上面三式，可以得到=K(4)KaTm(5)式(5)K称为已装配结构的刚度矩阵或整体刚度矩阵。

通过式(5)获得总刚度矩阵K的方法称为刚度法。因为位移变换矩a的阶数相当高，运算中须占大量的存贮单元,因而在组合整体刚度矩阵时,常采用直接把单元刚度矩阵的元素输送到K中的直接刚度法，该方法是将各单元中相同脚标的元素直接相加而组成整体刚度矩阵。在单元刚度矩阵中，对于近端结点刚度矩阵系数kjj，由于汇集于该结点j的所有单元都可作出贡献,因而在整体刚度矩阵中可有若干项相加,为汇集于j结点的所有单元。由于它不必通过式(5)进行计算,运算方便,因此其应用比刚度法更为广泛。

由于支座约束方向的结点位移通常为零或为已知值，因而可将全部结点位u分为两部分,一部分是不受支座约束的位ur,另一为沿支座约束方向的结点位uR。由此(4)式变成展开上式得(7)(8)uR=0时(7)式变成:r=Kur(7′)式中Kr为已装配结构相应不受支座约束的位移的刚度矩阵，实际上即为一般位移法基本方程中的系数矩阵K，该矩阵亦可直接按柔度矩阵求逆而得到。r即为一般位移法基本方程的自由项矩r(一般位移法中,Kr在方程同一边,因rR差一符号)。因而(7′)式即为位移法基本方程的矩阵表达式。

根据(7)或(7′)式即可求ur。再由(1)、(2)式即可求得杆端s，实际杆端sa应再叠加单元上非结点荷载引起的固端sf。第i单元的实际杆端力应为sa(i)k(i(i)sf(i)(9)

矩阵位移法计算杆端力的步骤

矩阵位移法计算杆端力的步骤为：

①划分单元，求出等效结点荷载；

②求单元刚度矩k(i),并转换为整体坐标的单元刚度矩阵;

③由(5)式或直接刚度法求出整体刚度矩阵K；

④求出Krr；

⑤由(7′)式求出结点位ur，再由(1)、(2)式求出杆端s，实际杆端力应再叠sf，即由(9)式确定。