圆锥曲线

圆锥曲线（conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。

历史背景

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

介绍

非圆二次曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹。当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<1时为椭圆。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其着作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

平面解析几何是高中数学课程中的重要内容之一，它体现了代数方法在刻画平面曲线方面的重大作用，蕴含着数形结合的重要数学思想。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，它也是解析几何基本思想的集中体现，是深入学习数学的重要基础知识。

几何观点

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1、当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2、当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5、当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6、当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7、当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。