函数奇偶性

奇函数在其对称区间[a，b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a，b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。偶函数在其对称区间[a，b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a，b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒推其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。[1]

基础定义

一般地，对于函数f(x)：

⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（-x）或f（x）/f（-x）=1那么函数f（x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）或f（x）/f（-x）=-1，那么函数f（x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（-x）和f（-x）=-f（x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f（a）≠f（-a），存在一个b，使得f（-b）≠-f（b），那么函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称

特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。

说明：

①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f（x）比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0。

注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f（x）=0是既奇又偶函数。

特征

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

证明方法

1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，都有f（-x）=-f（x）则这个函数叫做奇函数f（-x）=f（x），则这个函数叫做偶函数。n2、用求和（差）法判断：n若f（x）-f（-x）=2f（x），则f（x）为奇函数。n若f（x）+f（-x）=2f（x），则f（x）为偶函数。n3、用求商法判断n若f（-x）/f（x）=-1,（f（x）≠0）则f（x）为奇函数。n若f（-x）/f（x）=1,（f（x）≠0）则f（x）为偶函数。

性质

1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、对于F（x）=[g（x）]：

若g（x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

若g（x）是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。

若g（x）是奇函数且f（x）是奇函数，则F[x]是奇函数。

若g（x）是奇函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

4、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。

常用结论

（1）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

（2）若f（x-a）为奇函数，则f（x）的图像关于点（-a，0）对称；

若f（x-a）为偶函数，则f（x）的图像关于直线x=-a对称。

（3）在f（x），g（x）的公共定义域上：

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

上述奇偶函数乘法规律可总结为：同偶异奇。