外心

外心是数学名词。指三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。外心的性质：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。外心到三顶点的距离相等。

简介

三角形的外心是各边垂直平分线的交点（是外接圆的圆心），所以到各顶点的距离相等。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

相关定理

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

证明

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理其实极好证。

计算外心的重心坐标是一件麻烦的事。先计算下列临时变量：

d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

且：

直角三角形外心在斜边的中点。

锐角三角形外心在内部。

钝角三角形外心在外部。

设O是三角形ABC的外心则∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB

与多边形各角都相交的圆叫做多边型的外接圆。

三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。

三角形的外接圆圆心是三条中垂线的交点，直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上。

三角形外接圆圆心叫外心

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

三角形外心的性质：

性质1：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 钝角三角形的外心在三角形外。

性质2：三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。

性质3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.

例题分析

例1 PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．

分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．

解 ∵ PC⊥平面ABC

∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．

设PC=a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是

∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC=45°∴ 在Rt△DEA

评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．

分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．

同理，有PB⊥a，

∵ PA∩PB=P，

∴ a⊥面PAQB于Q

又 AQ、BQ

平面PAQB

∴ AQ⊥a，BQ⊥a．

∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．

∴ ∠AQB=60°

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有

∠PAQ=∠PBQ=90°

∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，由余弦定理得

AB2=1+4-2×1×2cos120°=7

由正弦定理：

评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．

例3 过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．

分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．

解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC

∴ BD⊥PC(三垂线定理)

在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．

在Rt△PAB中，由PA=AB=a

∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB

∴ BC⊥PB(三垂线定理)

在Rt△PBC中，

在△BDE中，根据余弦定理，得

∴ ∠BED=120°

即二面角B－PC－D的大小为120°．

(2)过P作PQ ∥AB，则PQ

平面PAB，

∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ

平面PCD

∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ

∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ

∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD

∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)

∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ

所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．

∵ PA=AB=AD，∴∠APD=45°

即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.

评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．

性质

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

5、外心到三顶点的距离相等。