勾股数

简介

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

常用套路

简介

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

公式证明

证明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

证：假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）

如果a,b均奇数，则a^2+b^2=2(mod4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k^2=(c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2,N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证：(M,N)=1

如果存在质数p，使得p|M,p|N,那么p|M+N(=c),p|M-N(=b),从而p|c,p|b,从而p|a，这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M,pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M,pi^2|N，即M，N都是平方数。

设M=m^2,N=n^2

从而有c+b=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,从而a=2mn

推广形式

关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。

但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！

其中规定m>n>0（两负数相乘可抵消固不考虑），(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数

完全公式

公式

a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3

⒈、当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉、当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2/2的所有小于432的偶数因子}={2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

组数N

算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈、取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉、取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2/2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

整勾股数

JAVA编程

常见组合

3，4，5：勾三股四弦五

5，12，13：5·12记一生（13）

6，8，10：连续的偶数

8，15，17：八月十五在一起（17）

特殊组合

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

特点

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？

用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。