内摆线

在平面上，一个动圆（发生圆）沿着一个固定的圆（基圆）的内侧作纯滚动时，此圆上一点的轨迹。内摆线的定义：一个动圆内切于一个定圆作无滑动的滚动，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线。当动圆滚动到与定圆相切于点B时，令角AOB=T。

参数方程

如果较小圆具有半径r，而较大圆具有半径，则曲线的参数方程可以由下式给出：

（1）如果k是整数，那么曲线是闭合的，并且曲线有k个尖峰（即尖角，曲线不可微分）。特别地，对于k=2，曲线是直线，圆圈称为卡尔达诺圆。卡尔达诺圆是第一个描述内摆线及其在高速印刷中的应用。

（2）如果k是一个有理数，用最简单的术语表示，则曲线具有p个尖点。

（3）如果k是非理性数，则曲线永远不会闭合，并且填充较大圆和半径为R-2r的圆之间的空间。

举例

假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹是一条内摆线（圆内螺线）。

三尖瓣线（Deltoid，字自「Delta」Δ）是内摆线（圆内螺线）一种，其n为2（或1/2）。

星形线（Astroid）是内摆线（圆内螺线）一种，其n为3。

内摆线是一种特殊类型的长短辐圆。

与群的关系

任何具有整数值为k的内摆线（因此具有k个尖点），能够在另一个具有k+1个尖点的内摆线里面移动，使得较小的下摆线的点总是与较大的相连接。这个运动看起来有点像“滚动”，虽然它不是在经典力学的意义上滚动，因为它涉及滑动的概念。

内摆线的形状可以与表示为的特殊单位组相关联，其由具有行列式1的k×k个单位矩阵组成。例如，中的矩阵的对角项的和的允许值是正好位于内摆线的三个尖点的复杂平面内的点。同样地，矩阵的对角项相加的和依此类推。

由于这个结果，可以使用作为一个子群在内移动的事实来证明具有k个尖点的外摆线也可以在具有k+1个尖点的内摆线内移动。

衍生曲线

在中心有极点的内摆线是玫瑰曲线。

绘制

和内摆线相似的曲线可以用万花尺来绘制。具体来说，万花尺可以画出内摆线和外摆线。

基于Steelmark的匹兹堡钢人员的标志包括具有四个尖点的内摆线。在“周二早晨四分卫”的每周NFL.com专栏中，格雷戈·伊斯特布鲁克（Gregg Easterbrook）经常将钢人队称为“内摆线”。智利足球队瓦奇巴托体育俱乐部根据钢人队的标志，并以内摆线为特色。

应用

利用求圆族包络线的方法来推导内摆线的外等距曲线方程,提出以内摆线等距曲线为转子泵的齿廓形线,并对此构成的转子副进行啮合研究,探讨内摆线转子副实际啮合时齿廓的修形方法和转子副的几何参数计算,为设计和开发此类泵提供了理论依据。

参考

小圆边缘沿大圆转动：圆外螺线╱外摆线、圆内螺线╱内摆线

小圆短径外转：外旋轮线╱小圆长径内转：内旋轮线

小圆边缘沿直线转动：摆线