正交矩阵

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。[1]正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

定义

如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件:

1)A是正交矩阵

2)AA′=E（E为单位矩阵）

3)A′是正交矩阵

4)A的各行是单位向量且两两正交

5)A的各列是单位向量且两两正交

6)(Ax,Ay)=(x,y）x,y∈R

7）|A|=1或-1

正交矩阵通常用字母Q表示。

基本构造

低维度

单位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是 对称的(等于它的转置矩阵)也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。

更高维度

不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，和表示通过原点的反演和关于轴的旋转反演(逆时针旋转90°后针对平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。

旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述 3×3 旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。

但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。