倒数

倒数（reciprocal / multiplicative inverse）是一个数学学科术语，拼音是dào shù。是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。[1]乘积为-1的两个实数互为负倒数。

实数的倒数

1.求一个分数的倒数，例如  ，我们只须把  这个分数的分子和分母交换位置，即得  的倒数为  ；

2.求一个整数的倒数，只须把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到。如12，即，再把

这个分数的分子和分母交换位置，把分子做分母，分母做分子，则有，即12的倒数是  ；

3.说明:倒数是本身的数是1和-1，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；

4.把0.25化成分数，即  ，再把  这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子.则是  ，再把  化成整数，即4.所以0.25是4的倒数。也可以说4是0.25的倒数.也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4；

5.求倒数的约分问题。在求倒数过程中，可约分的要约分，如 ，约分以后成 ，最后将其分子分母调换位置，得到 ，即为 的倒数；

因此乘积是1的两个数互为倒数。

数论倒数

而在数论中，还有数论倒数的概念，如果两个数a和b，它们的乘积关于模m余1，那么我们称它们互为关于模m的数论倒数。比如  ，所以3是2关于5的数论倒数.数论倒数在中国剩余定理中非常重要。而辗转相除法提供了计算数论倒数的方法。

群论中倒数

近世代数中有群，域，环等概念，其中定义了抽象的乘法运算和单位元.同样的，关于其乘法如果有乘法逆，同样可以看成是倒数。

特点

倒数的特点：一个正实数（1除外）加上它的倒数 一定大于2。

理由：，为倒数当时一定大于1，可写为因为，又因为  ，所以，所以，所以 ，所以一个正实数加上它的倒数一定大于2。

当  时也一样。

同理可证，一个负实数（-1除外）加上它的倒数一定小于-2。

求证：a，b均为非1正实数，且a不等于b，和互为倒数，.

证明：因为，所以

，又因为a，b均为非1正实数，且a不等于b，所以，所以，所以，即。

解题

在四则混合运算中，有时会用到倒数来解题，正规解起来很麻烦。

例如：计算

第一种方法：

解：原式的倒数=

=

=

=

=

所以，原式=.

第二种方法：

解：=

=

它的倒数为

=因为此处0不可以作为除数，故用乘法代替。

=

=

所以，原式=.

负倒数

乘积为-1的两个实数互为负倒数，实数x的负倒数记为 或 。一个实数的倒数和其负倒数是相反数，0没有倒数或负倒数。