层次分析法

层次分析法（AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。[1]

概述

所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。

基本思路

层次分析法的基本思路与人对一复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。

利弊分析

优点

1.系统性的分析方法

层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。

2.简洁实用的决策方法

这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。即使是具有中等文化程度的人也可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也经常简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。

3.所需定量数据信息较少

层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法，层次分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑，只保留人脑对要素的印象，化为简单的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。

缺点

1.不能为决策提供新方案

层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。这样，在应用层次分析法的时候，可能就会有这样一个情况，就是自身的创造能力不够，造成了我们尽管在我们想出来的众多方案里选了一个最好的出来，但其效果仍然不够企业所做出来的效果好。而对于大部分决策者来说，如果一种分析工具能替我分析出在我已知的方案里的最优者，然后指出已知方案的不足，又或者甚至再提出改进方案的话，这种分析工具才是比较完美的。但显然，层次分析法还没能做到这点。

2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服

在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。这样，当一个人应用层次分析法来做决策时，其他人就会说：为什么会是这样？能不能用数学方法来解释？

3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定

当希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。这就像系统结构理论里，要分析一般系统的结构，要搞清楚关系环，就要分析到基层次，而要分析到基层次上的相互关系时，要确定的关系就非常多了。指标的增加就意味着我们要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么就需要对许多的指标进行两两比较的工作。由于一般情况下对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性，如果有越来越多的指标，对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了，甚至会对层次单排序和总排序的一致性产生影响，使一致性检验不能通过，也就是说，由于客观事物的复杂性或对事物认识的片面性，通过所构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）不一定是合理的。

4.特征值和特征向量的精确求法比较复杂

在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和我们多元统计所用的方法是一样的。在二阶、三阶的时候，我们还比较容易处理，但随着指标的增加，阶数也随之增加，在计算上也变得越来越困难。不过幸运的是这个缺点比较好解决，有三种比较常用的近似计算方法。第一种就是和法，第二种是幂法，还有一种常用方法是根法。

操作步骤

层次分析法的使用过程

3.1创建递阶层次架构。

3.1.1最高层：即目标层。

3.1.2中间层：用以达到目标所能采取的方式方法所包含的中间环节；或者为了在各个待选方案中作出决策，用来评价各待选方案的各方面评价指标，包括准则层、指标层等。

3.1.3最低层：具体解决方式方法，也即可实施的方案。nn每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。例如在进行风险投资决策的问题中，对于经济管理过程中风险投资公司来说，一般情况下，此决策问题的进行步骤可安排如下，将分解决策为三个层次，

（1）目标层——合适的投资方案的选择；

（2）准则层——进行分析操作：风险分析、成长分析、社会政治影响分析、环境影响分析、市场评估因素分析、产品技术分析、财务分析、经济政策影响分析与行政环境分析等；

（3）方案层——产生n个待选择决策方案并将各层次用直线连接。

3.2构造判断矩阵

根据准则，将方案进行两两对比，按其重要性评定等级，以两两重要性程度之比的形式表示两个方案的相应重要性程度等級，记为两个因素的重要程度的比值，表1列出给出的重要程度的比较和值的大小。判断矩阵指的是按两两比较结果构成的矩阵。判断矩阵的性质具体如下式所示：

其次，求权重向量的值。

定义：判断矩阵若有以下简单性质，那么可以说符合一致性。

（1）具有唯一的非零特征值，其对应的特征向量归一化后叫做权重向量；

（2）各列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；

（3）任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；

（4）全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。

3.3一致性检验

判断矩阵的阶数比较高的时候，往往需要很费力气才能构造出满足一致性的矩阵。但判断矩阵偏离一致性条件又必须在一个可以把握的范围内，正是由于这个原因，我们要分析判断矩阵能不能接受，以上即为判断矩阵的含义。

（1）随机的原因可能会造成的一致性的偏离，所以分析判断矩阵是否具有满意的一致性的检验过程中，也要比较C与平均随机一致性指标彤，求出检验系数CR，CR的值与一致性的大小成反比。

（2）以上判断矩阵能不能得到预期的一致性的一个重要参考便是CR，如果CR<0.1，则认为其通过，反之，就不具有满意一致性。

注意事项

如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：

1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；

2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。

应用实例

1、建立递阶层次结构；

2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）

对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。

3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。

（1）几何平均法（根法）

计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；

计算mi的n次方根；

对向量进行归一化处理；

该向量即为所求权重向量。

（2）规范列平均法（和法）

计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；

将A的各行元素的和进行归一化；

该向量即为所求权重向量。

计算矩阵A的最大特征值?max

对于任意的i=1,2,…,n,式中为向量AW的第i个元素

（4）一致性检验

构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。