|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质:
1.|ab|=|a||b|
2.|a|<|b|可逆|b|>|a|
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时左边等号成立,ab≥0时右边等号成立。
另外有:|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
1、当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 [2]
2、当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)
解不等式|x-x²-2|>x²-3x-4
解∵|x-x²-2|=|x²-x+2|
而x²-x+2=(x-1/4)²+7/4>0
所以|x-x²-2|中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x²-x+2>x²-3x-4
解得:x>-3
∴原不等式解集为{x>-3}
绝对值重要不等式推导过程
我们知道
|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得:
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得:
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另:
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知:
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥,⑦得:
||a|-|b||≤|a+b|......⑩
由⑧,⑨得:
||a|-|b||≤|a-b|......⑪
综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值(absolutevalue)的重要不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件(特别是求最值),即:
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注:|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|(a+b)-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
解法
解决与绝对值有关的问题(如解绝对值不等式,解绝对值方程,研究含有绝对值符号的函数等等),其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。
以下,具体说说绝对值不等式的解法:
其一为平方,所谓平方,比如,|x|=3,可化为x^2=9,绝对值符号没有了!
其二为讨论,所谓讨论,即x≥0时,|x|=x;x<0时,|x|=-x,绝对值符号也没有了!
说到讨论,就是令绝对值中的式子等于0,分出x的段,然后根据每段讨论得出的x值,取交集,综上所述即可。
其三为数形结合法,即在数轴上将各点画出,将数转换为长度的概念求解。
解决与绝对值有关的问题(如解绝对值不等式,解绝对值方程,研究含有绝对值符号的函数等等),其关键往往在于去掉绝对值的符号。
而去掉绝对值符号的基本方法有二:其一为平方,其二为讨论。所谓平方,比如,|x|=3,可化为x^2;=9,绝对值符号没有了!所谓讨论,即x≥0时,|x|=x;x<0时,|x|=-x,绝对值符号也没有了!以下,具体说说绝对值不等式的解法。首先说“平方法”。
不等式两边可不可以同时平方,一般来说,有点问题。比如5>3,平方后,5^2;>3^2;,但1>-2,平方后,1^2;<(-2)^2;。
事实上,本质原因在于函数y=x^2;在R上不单调。但我们知道,y=x^2;在R+上是单调递增的,因此不等式两边都是非负时,同时平方,不等号的方向不变,这是可以的。对两个非负数来说,大的那个数,它的平方也相应会大一些;反过来,平方大一些的数,这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1,两边同时平方,可得(2x-1)^2;≥1,整理得4x^2;-4x≥0,即4x(x-1)≥0,因此x≤0或x≥1。
1理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
2.掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;
3、理解绝对值不等式的定义,掌握绝对值不等式的定理和推论,会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题。
4、解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号,常用的方法是:(1)分类讨论;(2)平方;(3)利用绝对值不等式的性质,如
等
5、证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法,分析法,换元法,综合法,放缩法,反证法等等
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