面面垂直

若两个平面的二面角为直二面角，则这两个面互相垂直。即α和β有公共点P，因此α与β相交。这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

判定定理

定理

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β

证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c

∵a∥β

∴a∥c（线面平行的性质定理）

∵a⊥α

∴c⊥α（线面垂直的性质定理）

∵c⊂β

∴β⊥α（定理1）

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）

证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

则根据线面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β（推论1）

这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

​性质定理

定理1

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α。

求证：OP⊥β。

证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。

∵α⊥β

∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ

∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β

∴OP⊥β

定理2

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB⊂α

证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）

当A在α和β的交线外时，则B是垂足

∵AB⊥β于B

∴B∈β

设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α

连接AC

∵AC⊂α

∴AC⊥BC

但AB⊥β，BC⊂β

∴AB⊥BC

即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。

当A在α和β的交线上时，A是垂足。

设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β

但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾

∴假设不成立，AB⊂α

定理3

如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ

证明：设α∩γ=a，β∩γ=b

∵a∩b=l

∴a与b相交

设a∩b=P，则P∈l

若l与γ不垂直，那么在α内过P作PA⊥a，由定理1可知PA⊥γ

同理，在β内作PB⊥b，就有PB⊥γ

于是过P有两条直线与γ垂直，与线面垂直的性质定理矛盾。

∴假设不成立，l⊥γ

推论

三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

已知：α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c

求证：a⊥b，a⊥c，b⊥c

证明：∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ

∴a⊥γ（定理3）

∵b⊂γ，c⊂γ

∴a⊥b，a⊥c

同理可证b⊥c

定理4

如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）

已知α⊥β，a⊥β，a∉α。求证a∥α

证明：假设a与α不平行，那么他们相交。设交点是A

又设a⊥β，垂足为B。α∩β=l

在α内作AC⊥l，由定理1可知AC⊥β

则过点A有AB、AC与β垂直，与线面垂直的性质定理矛盾

∴a∥α

推论

如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。