垂径定理

垂径定理是数学几何中的一个定理。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，简称“两平分”。定理中的弦可以是直径，这条弦所对的弧可以是劣弧，也可以是优弧。数学表达为：直径MN垂直于弦AB，则AC = CB，弧AN等于弧BN（包括优弧与劣弧），半圆MAN = 半圆MBN。

定理定义

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。由此可得：

1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这弦所对的两条弧。

2、平分一条弦所对的两条弧的直线垂直平分这条弦。

3、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这弦所对的两条弧。

4、平分弦和它所对的一条弧的直线经过圆心，并且垂直于这条弦。

5、平分一条弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这弦所对的另一条弧。

垂径定理和上述五个推论统称为垂径定理组。

验证推导

如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE = BE，弧AC = 弧BC，弧AD = 弧BD。

证明：

连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B

∵ OA、OB是⊙O的半径

∴ OA = OB

∴ △OAB是等腰三角形

∵ AB ⊥ DC

∴ AE = BE，∠AOE = ∠BOE（等腰三角形三线合一）

∴ 弧AD = 弧BD，∠AOC = ∠BOC

∴ 弧AC = 弧BC

定理推广

推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：

在5个条件中，

1、平分弦所对的一条弧

2、平分弦所对的另一条弧

3、平分弦

4、垂直于弦

5、经过圆心(或者说直径)

只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。

定理简史

欧几里得（古希腊数学家 希腊文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。

定理意义

垂径定理既是圆的性质的重要体现，又是圆的轴对称性的具体化，是证明线段相等、角相等、弧相等垂直关系的重要依据，它在数学解题及生活应用中具有重要作用。