拉氏变换

拉氏变换即拉普拉斯变换。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。[1]

简介

拉氏变换英文名为LaplaceTransform，为法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,Pierre-Simon,marquisde）创立。主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换。

定义

拉氏变换即拉普拉斯变换。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

推导

如果定义：

f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,：

s,是一个复变量：

mathcal是一个运算符号，它代表对其对F象进行拉普拉斯积分int_0^inftye^,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。 

则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出：

F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt

拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号mathcal^,表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：

对于所有的t>0,：

f(t)

=mathcal^left

=fracint_^F(s),e^,ds

c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

用f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+jΩ;的一个函数，其中σ和&owega;均为实变数,j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：

如果对于实部σ>σc的所有s值上述积分均存在，而对σ≤σc时积分不存在，便称σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数f(t)和象函数F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。

物理意义

拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。s=jw，当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、KVL、叠加法。

逆变换

拉普拉斯变换为F(s),=mathcalleft=int_^inftyf(t),e^,dt，那么拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号mathcal^,表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0,；f(t)=mathcal^left=fracint_^F(s),e^,dsc,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

用f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数，其中σ和&owega;均为实变数,j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：如果对于实部σ>σc的所有s值上述积分均存在，而对σ≤σc时积分不存在，便称σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)]。函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数f(t)和象函数F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。