三垂线定理

平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。其逆命题也成立。[1]三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。定理中四条线均针对同一平面而言。应用定理关键是找"基准面"这个参照系。

定理

线面垂直证明

已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a。

求证：OP⊥a

证明：过P做PA垂直于α

∵PA⊥α且a⊆α

∴a⊥PA

又a⊥OA

OA∩PA=A

∴a⊥平面POA

∴a⊥OP

用向量证明

1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA。

证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）

∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b）=0，∴PA⊥向量b。

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。

三余弦定理

三余弦定理：平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。

例如：OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。若∠POC=α（斜线与平面所成角），AB与OC所成角为β（射影与直线所成角），OP与AB所成角为γ（直线与斜线所成角），则cosγ=cosαcosβ

显然，三垂线定理就是当β=90°的情况。直线垂直射影有cosβ=0，因此cosγ=0，即直线与斜线也垂直。

使用

1、三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系。

2、a与PO可以相交,也可以异面。

3、三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足,斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂，二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二，找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。

注：

1、定理中四条线均针对同一平面而言

2、应用定理关键是找"基准面"这个参照系

附：江苏省《教学要求》中规定自2011年高考起“三垂线定理”不能作为推理论证的依据，要证明。

黑龙江省《教学要求》中规定自2012年高考起“三垂线定理”不能作为推理论证的依据，要证明。

用途

在做图中，做二面角的平面角。

在证明中，证明线线垂直。

在计算中，用归纳法归拢已知条件，便于计算。

口诀

线射垂，线斜垂；线斜垂，线射垂。

逆定理

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

说明

（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；

（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；

（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。

（4）直线a与PO可以相交，也可以异面。

（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

（6）可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题。