如果随机变量的概率密度函数分布为
由拉普拉斯分布的概率密度函数联想到正态分布,但是,正态分布是用相对于μ平均值的差的平方来表示,而拉普拉斯概率密度用相对于平均值的差的绝对值来表示。因此,拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。
根据绝对值函数,如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形,那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。
已知区间(-1/2,1/2]中均匀分布上的随机变量U,随机变量为参数μ与b的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。
当两个相互独立统分布指数(1/b)变化的时候也可以得到Laplace(0,b)变量。同样,当两个相互独立统分布一致变量的比值变化的时候也可以得到Laplace(0,1)变量。
针对图像压缩感知重构问题,构建图像小波系数的广义拉普拉斯统计模型。首先通过对典型图像小波系数的直方图统计,以广义拉普拉斯分布拟合图像小波系数的先验概率密度,用KL散度法求得广义拉普拉斯分布的参数。然后基于贝叶斯准则,通过取对数,将稀疏系数的最大后验概率估计问题转化为p范数优化问题,其中p的取值由待重构的图像所决定,即为该图像小波系数对应的广义拉普拉斯分布的形状参数。最后由非凸优化法求解得到图像的小波系数,并实现图像的重构。
实验结果表明:对于简单稀疏信号,该方法重构成功率明显高于经典的BP和OMP法;对于测试图像的小波系数信号,所提方法能够自适应地精确重构原始图像。
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