基本不等式

基本不等式：a^2+b^2≥2ab（a、b都为实数），当且仅当a=b时等号成立。基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算数平均数。或者任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

概念

即√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0)

变形 ab≤((a+b)/2)^2

a^2+b^2≥2ab

（当且仅当a=b时，等号成立）

其中，以下√表示根号(3√)表示三次根号，^表示指数

证明

如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 

证明如下： 

∵（a-b)^2≥0 

∴a^2+b^2-2ab≥0 

∴a^2+b^2≥2ab 

如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c时等号成立 

如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。

（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。） 

应用

和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等） 

积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等） 

均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b时等号成立。） 

( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正数a,b的平方平均数也叫正数a,b的加权平均数；（a+b）/2叫正数a,b的算数平均数；√ab正数a,b的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b的调和平均数。） 

同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5>3与3x-2>5是同向不等式 

异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。 

绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式，例：X^2+3>0，√X+1>-1等都是绝对不等式。 

矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式 。

条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式。例：3X+5>0 lg－<1等都是条件不等式。

推广

均值不等式又名平均值不等式，平均不等式，是数学中的一个重要公式。

设a1、a2、a3、…、an都是正实数，则基本不等式可推广为均值不等式：

（当且仅当a1=a2=a3=…an时取等号）

其他不等式

琴生不等式 

均值不等式 

绝对值不等式 

权方和不等式 

闵可夫斯基不等式 

贝努利不等式　 

契比雪夫不等式 

柯西不等式