四面体

基本介绍

几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体，它的四个面（一个叫底面，其余叫侧面）都是三角形。

平面上的多边形至少三条边，空间的几何体至少四个面，所以四面体是空间最简单的几何体。四面体又称三棱锥。三棱锥有六条棱长，四个顶点，四个面。底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。

体积公式

棱锥的侧面积及全面积、体积公式、底面积公式

棱锥的侧面积及全面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则S棱锥侧=S1+S2+…+Sn（其中Si，i=1，2…n为第i个侧面的面积）

S全=S棱锥侧+S底

棱锥的底面积公式:S底=长×宽

棱锥和圆锥统称锥体，锥体的体积公式是：v=1/3sh（s为锥体的底面积，h为锥体的高）。

斜棱锥的侧面积=各侧的面积之和

正棱锥的侧面积：S正棱锥侧=1/2chˊ（c为底面周长，hˊ为斜高）。

棱锥的中截面面积：S中截面=1/4S底面

公式说明

折叠体积

棱锥的体积取决于平面外顶点到底面的距离，以及底面多边形的面积。前者称为棱锥的高，后者称为棱锥的底面积。设为棱锥的高，为棱锥的底面积，为棱锥的体积，则棱锥的体积可以用以下公式计算：这个公式早在公元三世纪就得到了证明。现代的证明一般使用积分。

假设有棱锥PA1A2...An，其中A1A2...An为底面的n边形，P为棱锥顶点。设P在底面的投影为Q点，PQ的长度为h。在线段PQ上取一点X，使得线段PX的长度为x：0≤x≤h，那么过点X而且与底面平行的平面截棱锥得到的形状是一个和底面的n边形相似的n边形，记作Ax1Ax2...Axn，它的面积Sx与底面积S的比值等于PX与PQ的比值的平方：在点X附近截取的“一片”棱锥“切片”，它的体积大约等于：所以棱锥的体积等于积分：对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长为a，高是h，那么底面积是：所以它的体积是：

折叠表面积

棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积Sc，其中是第i个侧面的面积。棱锥的表面积等于棱锥的侧面积Sc加上底面积S。假设顶点的投影Q点到第i个侧面对应的底边的距离是di，底边的长度是ai，那么棱锥的侧面积：对于正n棱锥，顶点到底面的投影是底面正n边形的中心。所以投影点到每一边的距离都相等：因此棱锥的斜高也就是侧面三角形的高：棱锥的侧面积[4]:87：其中p是底面正n边形的周长。假设底面正n边形的边长是a，高是h，那么它的周长是na，中心到每一边的距离是。所以斜高是：侧面积是：

应用实例

三棱锥P—ABC的侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，侧面面积分别是6,4,3，则三棱锥的体积是多少？

解：设PA=X,PB=Y,PC=Z.∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.S△PAB=6,S△PBC=4,S△PAC=3.

∴X*Y=12````````````````````````①

Y*Z=8`````````````````````````②

Z*X=6`````````````````````````③

解得：X=3,Y=4,Z=2.

∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.

∴PA⊥平面PBC PA=X=3.

∴三棱锥的体积：1／3*S△PBC*PA=4。