欧金尼奥·贝尔特拉米

贝尔特拉米（Eugenio Beltrami，1835年11月16日——1899年6月4日？），意大利数学家，比萨大学教授（1863年）、博洛尼亚大学教授（1866年）、罗马大学教授（1873年）、帕维西大学教授（1876年）。贝尔特拉米研究了非欧几里德几何学，开拓了超空间的几何学，还对弹性学的发展作出了贡献。

主要成就

1868年，贝尔特拉米利用当时微分几何的最新研究成果，发表了一篇著名论文《关于非欧几里得几何的解释》（意大利语：Saggio di inter pretarione della geometria non-euclidea）   ，证明了非欧几里得几何（意大利语：geometria non-euclidea）可以在欧几里德空间中的“伪球面（pseudo-sphere）”，即“曳物线（tractrix）”的“回转曲面”上一一对应的实现，从而奠定了罗巴切夫斯基思想得到普遍承认的基础。

伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，其高斯曲率为负常数的特殊曲面。具体而又是在，伪球面的内蕴几何与罗氏几何是一致的，一个伪球面可以解释成为罗氏几何中一个平面的一部分。这就为罗氏几何提供了一个模型。

这就是说，非欧几里得几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几里得几何也就自然没有矛盾。

此后非欧几里得几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。

后世影响

因为贝尔特拉米《关于非欧几里得几何的解释》的出现，才将罗巴切夫斯基从非议中解救出来，他所创立的非欧几里得几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。

长期无人问津的非欧几里得几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

从贝尔特拉米的证明开始，非欧几里得几何终于从一个无聊的“牛角尖”，变成了公认的理论。这些钻牛角尖的人，终于可以扬眉吐气，证明他们的牛角尖钻得是有意义的，而且是有很重大的意义的。

稍后，彭加勒和克莱因在欧氏系统也分别构造了罗氏几何的模型。

彭加勒的模型是：在欧氏平面上划一条直线而使之分为上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当做罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所作出之半圆周算做是罗氏几何的直线。然后，对如此规定了的罗氏几何元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立。

借助彭加勒模型可以证明罗氏几何的相对相容性。这种解释性模型是数理逻辑和数学基础中的理论研究的重要方法。而描述性数学模型是解决实际应用问题的重要手段。

至此，非欧几里得几何才真正获得了广泛的理解。