病态方程组

由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。病态方程组是指因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组，称相应的系数矩阵A为病态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性。对病态方程组有四种处理原则：采用高精度的算术运算；采用预处理方法；采用特殊的数值解法或寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。

预备知识

扰动

设方程组为

，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：

和

，则实际求解的方程组为

。

条件数

求解线性方程组

时，设A是n阶非奇异矩阵，

为矩阵的任一种从属范数，则

称为矩阵A的条件数，其中

是A的逆矩阵。

定义

病态方程组是指因系数的很小改变却导致解改变很大的方程组。病态的另外一个解释是很大范围的解都能近似满足方程组。因为舍入误差会使系数有一些小的改变，那么对于病态方程组，这些人为的改变会导致解有很大的误差。

表述一

设方程组为

，系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：

和

，如果

和

很小，而

很大，则称方程组

为病态（ill-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的病态矩阵；反之，如果

和

微小时，

也很微小，则称方程组

为良态（well-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的良态矩阵。病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性（如用LU分解法求解线性方程组时，更换主元有可能使解的精确度大大下降）。

表述二

求解线性方程组

时，设A是n阶非奇异矩阵，当条件数

比较大时，A和b的小扰动会引起解的较大误差，所以条件数

刻画了方程组

的性态。如果条件数比较大，就说方程组是“病态”的；如果条件数比较小，就说方程组是“良态”的；当然，病态和良态是相对的。

典例

设有方程组：

易得其精确解为

。

若常数项有一个扰动，得到方程组：

则其解为

。

可见A或b中元素的0.0001的微小变化会导致方程组解的巨大差异，这样的方程组就是“病态”方程组，可以利用范数来描述向量和矩阵的扰动误差。

判断和发现

对于病态的线性方程组，其求解自然要难于良态的方程组，或要采取特殊的方法才能求出有用的解。在求解以前，怎样判断和发现

是病态的呢?

一般方法

根据病态方程组的定义，可以通过计算条件数来判断。由于定义中涉及A ，故计算量太大而通常不被采用．人们经常利用的是估计条件数的方法。

特殊情况

在特殊情况下，可以依据下面出现的情况来判断：

（1）当

相对来说很小或者A的某些行（或列）近似线性相关时，

可能是病态的；

（2）如果用选主元消去法求解

，在A的约化过程中出现小的主元，

可能是病态的；

（3）当解

时出现一个很大的解，

可能是病态的；

（4）当系数矩阵A的元素数量级相差很大，并且无一定规则时，

可能是病态的。

四种处理原则

若发现

可能是病态的．通常有四种处理原则：

采用高精度的算术运算

如利用双倍字长进行计算，以便改善和减轻矩阵病态的影响，但计算时间将大大增加。

采用预处理方法

寻求非奇异矩阵P，Q，使求解

（设A为n维非奇异方阵）转化为求解

或

其中

，且改善A的条件数

。于是，可先求解

，再求解

。当A为对称正定矩阵时，一般选取P，Q为对角阵或三角阵。

对病态线性方程组

进行预处理，如取P，Q为对角阵，称为平衡方法，即当系数矩阵A的元素数量级相差很大时，可采用行均衡或列均衡方法，这时矩阵A的条件数可能得到改善。所谓行均衡，是在解

之前，对A的每一行都乘以适当的数，使A所有的行按照某种范数大体上有相同的长度。

设

非奇异，计算

，令

于是，求解

化为求解

或

，这时有

。

采用特殊的数值解法

采用某些特殊的数值方法求解。

找病因改问题

寻找出现病态的原因，改变原问题的提法。