待定系数法

待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。[1]

解题步骤

待定系数法

使用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

例如：“已知x^2-5=（2-A）·x^2+Bx+C，求A，B，C的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．

格式与步骤

一、确定所求问题含待定系数的解析式。

上面例题中，解析式就是:

（2-A）·x^2+Bx+C

二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。

在这一题中，恒等条件是：

2-A=1B=0C=-5

三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

∴A=1B=0C=-5

四次方程笛卡尔法

一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。

先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4整理后得到y^4+py^2+qy+r=0（1）

设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm

比较dy对应项系数，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r

设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)

再代入第三个方程，得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r。即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0

解这个方程，设kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为

（y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0

解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。

例题

例题1

已知多项式2x^4-3x^3+ax^2+7x+b能被x^2+x-2整除，求a/b

分析：由条件可知，(x^2+x-2)是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设2x^4-3x^3+ax^2+7x+b=(x^2+x-2)(mx^2+nx+k)，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值。

答案：2

例题2

已知f(x)表示关于x的一个五次多项式，若f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=0，f(2)=24，f(3)=360，求f(4)的值。

分析：因为f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=0，所以这个多项式中必有因式(x+2)、(x+1)、x、(x-1)，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因式的乘积，故这个多项式可以设为(x+2)(x+1)x(x-1)(ax+b)，利用待定系数法求出a、b的值最后代入原多项式，即可求出f(4)的值。

答案：1800

例题3

分母有理化：(3+2√2-√3-√6)/(1+√2-√3)

分析：为了使分母有理化，尝试将分子化为含有因式(1+√2-√3)的多项式。注意到√6=√2·√3，即可设3+2√2-√3-√6=(1+√2-√3)(a√2+b√3+c)，最后解出a、b、c的值，代入原式后化简即可。

答案：1+√2

例题4

已知(6x^3+10x)/(x^4+x^2+1)可以表示为两个一次多项式分别除以(x^2+x+1)、(x^2-x+1)的和，求这两个一次多项式。

分析：通过设(6x^3+10x)/(x^4+x^2+1)=(ax+b)/(x^2+x+1)+(cx+d)/(x^2-x+1)，将等式右边同分，发现两边的分母相同，即可得到两边的分子相等，最后利用待定系数法即可求出a、b、c、d。