序贯分析

序贯分析是数理统计学的一个分支，其名称源出于A.瓦尔德在1947年发表的一本同名著作，它研究的对象是所谓“序贯抽样方案”，及如何用这种抽样方案得到的样本去作统计推断。

序贯分析

序贯抽样方案是指在抽样时，不事先规定总的抽样个数（观测或实验次数）,而是先抽少量样本，根据其结果，再决定停止抽样或继续抽样、抽多少，这样下去，直至决定停止抽样为止。反之，事先确定抽样个数的那种抽样方案，称为固定抽样方案。

例如，一个产品抽样检验方案规定按批抽样品20件，若其中不合格品件数不超过 3，则接收该批，否则拒收。在此，抽样个数20是预定的，是固定抽样。若方案规定为：第一批抽出3个，若全为不合格品，拒收该批，若其中不合格品件数为

，则第二批再抽

个，若全为不合格品，则拒收该批，若其中不合格品数为

,则第三批再抽

个，这样下去，直到抽满20件或抽得 3个不合格品为止。这是一个序贯抽样方案，其效果与前述固定抽样方案相同，但抽样个数平均讲要节省些。此例中，抽样个数是随机的，但有一个不能超过的上限20。有的序贯抽样方案，其可能抽样个数无上限，例如，序贯概率比检验的抽样个数就没有上限。

H.F.道奇和 H.G.罗米格的二次抽样方案(见抽样检验)是较早的一个序贯抽样方案。1945年,C.施坦针对方差未知时估计和检验正态分布的均值 μ(见数学期望)的问题，提出了一个二次抽样方案。依此方案，在事先给定了

和

后，可作出均值μ的一个置信区间，其置信系数（见区间估计）为

，而长度不超过l。可以证明：当方差未知时，具有这种性质的置信区间在固定样本的情况下不可能找到。由此可以看出序贯抽样方案除了可节省抽样量之外，还有一种作用，即为了达到预定的推断可靠程度(这里为置信系数)及精确程度（这里是以区间长度来刻画），有时必须使用序贯抽样。

例如，估计一事件A的概率

，给定

，要找到这样的估计孨，使能以不小于

的概率保证估计的相对误差小于等于

。可以证明，若用固定抽样方案，事先指定自然数n,做n次试验，每次观察A是否发生，则不论n多么大，具有上述性质的孨不存在。但用下述序贯抽样方案可得到这样的：作试验，观察A是否发生，设到A第一次发生时已作了

试验，计算 取其整数部分

,再作

次试验，记

次试验中A出现的次数为m,

，则有

，而估计孨具有所指定的性质。

第二次世界大战时，为军需验收工作的需要，瓦尔德发展了一种一般性的序贯检验方法，叫序贯概率比检验（简称SPRT）。此法在他的1947年的著作中有系统介绍，其要点如下：设在原假设

和备择假设

之下，随机变量x的概率密度函数或概率函数随机变量都已知，且分别为

,对x逐次观测，第i次观测的结果记为

，称比值为样本

的概率比。在固定抽样方案之下，是先给定自然数n,对x进行n次观测得

，计算

。定出一常数C（其值取决于检验水平α）,当

时，接受原假设

,否则拒绝

。这样，在λn的值与C很接近时,

是否被接受的界限过于断然，不大合理。瓦尔德将此修改为：指定两个数

根据各次观测得的样本

的值，依次计算概率比

。每次抽样完毕，即算出

，再与A,B比较，若

,则接受

；若

,则接收

（拒绝

）；若

,则继续抽样一次得

计算出

再作上述比较，直到作出决定为止。这就是序贯概率比检验。至于A,B的定法，则取决于指定的两种错误概率α和β（α,β都大于0，但很小）。瓦尔德提供的近似公式是

。他也给出了这种检验法的平均抽样次数和功效函数（见假设检验），并在1948年与美国统计学家J.沃尔弗维茨一起，证明了在一切两种错误概率分别不超过α和β的检验类中，上述序贯概率比检验所需平均抽样次数最少。瓦尔德在其著作中也考虑了复合检验的问题，有许多统计学者研究了这种检验。瓦尔德的上述开创性工作，引起了许多统计学者对序贯方法的注意，并继续进行工作，从而使序贯分析形成为数理统计学的一个分支。

除了检验问题以外，序贯方法在其他方面也有不少进展，对一般的统计决策问题，在各次观测结果相互独立的情况下的序贯贝叶斯解的问题，在理论上已有较完整的结果。在点估计方面，对序贯的最小化最大估计的研究有了一些结果。在区间估计方面，关于斯坦的二次抽样，正态均值及一般总体均值和线性模型参数的区间估计，有不少的工作。另外，在数理统计学中有一类在应用上重要的问题，叫选择问题，它要求从若干个分布中挑选出一个在某种意义上的最优者。例如，从若干个具有不同均值的正态分布中，挑选出其均值最大者。关于这个问题也发展了一系列的序贯方法。

参考书目

A.Wald,Sequential Analysis,John Wiley & Sons, New York, 1947.

D.Siegmund,Sequential Analysis,Springer-Verlag, New York, 1985.