相合估计

相合估计亦称为一致估计、相容估计，估计量的一种大样本性质为：当样本容量n充分大时，估计量可以以任意的精确程度逼近被估计参数的真值。按收敛意义不同，可以区分不同的相合性，常见的有：弱相合估计、强相合估计、r阶相合估计，这三种相合性之间的关系与三种收敛性的关系是完全一致的。相合性是一个估计量所应具备的最基本的性质。

定义

设

为

的基于样本的

的一个估计量，显然它依赖于样本n，为表明这种依赖性，可以记之为

。随着样本量的变化，可得到一列估计量，一个自然的希望是，当样本容量无线增加时，估计量能够依某种意义接近于被估计量的真值。显然，这是对估计量的起码要求。相合性就是这样的一个要求。

相合估计量

弱相合估计，简称为相合估计。

设

为

的基于样本的

的一个估计量，若对任意固定的

，都满足：对于任给的

，有

成立，则称

为

的相合估计量，上述极限式简记为

。

强相合估计量

若对任何固定的

都有

则称

为

的强相合估计量，上述式子可简记为

，这里a.s.为almost surely的缩写。

两者的关系

若对任意固定的

，随机变量序列

依概率收敛于

；而

则表明对于任何

，

几乎处处收敛于

，可以证明，强相合估计量必为相合估计量。

有关定理

定理1

设

在参数空间

上连续，

为

的强相合估计量，

，则

为

的强相合估计量。

定理2

设总体有直到

阶的矩

。

可表示为

，且G为连续函数。记

分别为样本原点矩和样本中心矩，则

为

的强相合估计量。

注意：由该定理可知，矩估计量一般是强相合的。

定理3

设分布族

满足：

（1）X是有限集；

（2）对于不同的参数值θ和

，所对应的分布不同；

（3）

有共同支撑，即

与θ无关；

则对于简单随机样本

，θ的最大似然估计量

存在，且

为θ的相合估计量。

定理4

设分布族

满足：

（1）θ为R（一维实空间）中的开集；

（2）不同的参数值θ和θ’，所对应的分布不同；

（3）

有共同支撑A；

（4）

对θ的偏导数

在X上存在，并且当简单随机样本

时，似然方程

有且仅有解

，则

，即

为θ的相合估计量。

典例

例1

设

，则

是θ的有偏估计，但它是相合的。

证明：

的密度函数为

，此处

为A的示性函数。故对任意

，有

可见

为θ的相合估计。

例2

设

，证明θ的极大似然估计是相合的。

证明：似然函数为

故有

可见

为θ的严格单调下降函数。又因为

从而

有且仅有一个解。故似然方程的根必为极大似然估计量且是相合估计。