平行四边形

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次名称。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则是错误的。[1]

性质

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）

性质：

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。

（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。

（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

辅助线

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

例题详解

例1

已知，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：∵∠A=∠C，AB∥CD

∴∠B=∠D(等角的补角相等）

∵∠A=∠C且∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

例2

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．

（1）若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=

AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含a，b的代数式表示）．

解：（1）∵AC⊥BD

∴四边形ABCD的面积S=1/2AB×BC

=1/2×10×8

=40………………………………………2分

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E…………………………………3分

∵四边形ABCD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5，

BO=DO=1/2BD=4

在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AB/AO

∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2…………4分

∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3………………………………5分

∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20√3……………………………………6分

(3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F…………7分在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO

∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin

同理可得CF=CO×sin∠COF=CO×sin………………………………8分

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF

=1/2BD×sin（AO+CO）

=1/2BD×ACsin

=1/2absin

〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．

解答：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．

例3

在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。

证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°

∴2（∠A+∠B）=360°

∴∠A+∠B=180°

即AD∥BC

同理，可得AB∥CD

∴四边形ABCD为平行四边形

过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。