一致估计

一致估计亦称相合估计和相容估计，是一种优良点估计。按收敛的意义不同将一致估计分为两种：弱一致估计和强一致估计。点估计又称定值估计，是指直接用样本平均数或样本成数代替总体平均数或成数，而不考虑误差的一种估计方法。例如对100名大学生进行收视率调查，调查结果是30%每天收看电视新闻，从而推断， 在全体大学生中30%每天收看电视新闻。

概念

一致估计(consistent estimator)亦称相合估计和相容估计。是一种优良点估计。设总体ξ的概率分布函数为

，

为未知参数，若可估函数g(θ)估计量

当n趋于无穷时，在某种意义下收敛于g(θ)，则称

是

在这种收敛意义下的一致估计。它要求作为估计量的统计量，当样本容量无限增大时，在某种意义下，收敛于待估计参数的真值。按收敛的意义不同将一致估计分为两种：若当样本容量

时，对任意给定的

，有：

则

称为

的弱一致估计；若有：

则

称为

的强一致估计。一致估计是点估计中最基本的大样本准则。例如，正态总体

的样本均值ξ就是

的一致估计，因为根据大数定律，对任给

，当

时，有：

成立。这就表明ξ是E(ξ)的弱一致估计。

估计

根据观测值来推测母体参数的值或范围的过程称为估计。估计分为点估计和区间估 计。点估计，是根据观测值估计出对母体参数θ的估计值

的过程。例如，在进行灯泡寿命测定时，根据几个灯泡寿命 来推测一批灯泡寿命的过程，就为点估计。其过程是：先抽取若干个灯泡做样本来测取寿命值 (以小时为单位) ，样本的寿命分别是

，求出平均值

和方差：

此时就用平均寿命去估计母体寿命μ，用方差S去估计母体 σ，即是点估计。

点估计

点估计又称定值估计，是指直接用样本平均数或样本成数代替总体平均数或成数，而不考虑误差的一种估计方法。例如对100名大学生进行收视率调查，调查结果是

每天收看电视新闻，从而推断，在全体大学生中

每天收看电视新闻。

一般说来，用抽样指标估计总体指标，总会存在一定差异，但如果满足下面3个要求，就可认为是合理估计或优良估计。1.无偏性。用抽样指标估计总体指标时，个别样本指标与总体指标间会有偏差，而用很多样本指标的平均值估计总体指标，平均说来是无偏差的。2.一致性。用抽样指标估计总体指标，当样本单位数充分大时，抽样指标将充分接近总体指标。3.有效性。用抽样平均数和总体某一变量来估计总体平均数时，虽然两者都是无偏估计量，但样本平均数更靠近总体平均数，平均说来，它的离差较小，因此，是更优良的估计量。

区间估计

设总体或总体分布的某个参数为θ，从该总体抽取含量为n的样本，按一定概率估计总体参数θ在哪个范围，即由样本观测值求θ的

可信区间，

称可信度，通常取95%可信度，即

，求θ的

可信区间。如求总体均数μ的

可信区间，求总体率π的

可信区间，求总体回归系数β的

可信区间等。θ的区间估计常和其点估计θ相结合。一般当样本含量较大时(如

)，θ近似服从正态分布，可用正态近似法求总体参数的

可信区间：

或简写成

。

为θ的标准误。通常求总体参数θ的

可信区间：

或简写成

。可信区间的含义为：固定样本含量n，从总体中作随机抽样，每个样本可以算得一个可信区间，如

可信区间，意味着做100次抽样，算得100个可信区间，平均有95个可信区间包括总体参数(估计正确)，只有5个可信区间不包括总体参数(估计错误)。

是小概率事件，实际发生的可能性小，因此，在实际应用中就认为总体参数在算得的一个可信区间内，冒5%犯错误的风险。可信区间的两个要素：一是准确度，反映在可信度

的大小，越接近1越准确，如可信度

比

准确；二是精密度，反映在区间的长度，越小越精密。二者是矛盾的，需要兼顾。

统计量

样本的已知函数，其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来，是数理统计学中一个重要的基本概念。常用统计量有样本矩、次序统计量、U统计量和秩统计量等。其中U统计量是W.霍夫丁于1948年引进的。统计量的充分性和完全性是两个重要概念，充分性是费希尔在1925年引进的，内曼和P.R.哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法，叫做因子分解定理。统计量的分布叫做抽样分布，它的研究是数理统计中的重要课题。对一维正态总体，有三个重要的抽样分布，即χ分布、t分布和F分布。其中χ分布是F.赫尔梅特于1875年在研究正态总体的样本方差时得到的；t分布是英国统计学家W.S.戈塞特(笔名“学生”)于1908年提出的；F分布是费希尔在20世纪20年代提出的。