循环数

循环数，专业术语，拼音为xún huán shù，是一个整数，满足乘连续的若干个数后各位发生循环。

简介

最广为人知的循环数是142857.其循环如下：

分析

为了确认一个数是否是循环数，需要保证这个数是乘连续的若干个数后发生循环。因此，076923不会被认为是一个循环数，即使它各位循环后的数都是它的倍数。

以下这些数比如是循环数；

1、单独的一位数，如5

2、单位重复的数，如555

3、循环数的重复，如142857

如果前导0不被允许，142857将是唯一一个十进制循环数。如果允许前导0，前几个循环数是：

142857 (6位)

0588235294117647 (16位)

052631578947368421 (18位)

0434782608695652173913 (22位)

0344827586206896551724137931 (28位)

0212765957446808510638297872340425531914893617 (46位)

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58位)

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60位)

特征

循环数与单位分数的循环小数表示形式有关。一个长为

的循环数在数字上是

的循环节。相反的，如果

(

是质数）的循环节长度为

，它的循环节在数字上就是一个循环数。

形式

由循环数与单位分数的关系可得，循环数有这样的形式

其中

是数基（对于十进制，

），而

是一个不是

的倍数的质数（能产生循环数的质数被称为全循环质数）

例如，

时会产生142857.

不是所有的

会根据这个公式产生循环数。例如当

时会产生076923076923。这些失败的例子总包含重复的数。

前几个产生十进制循环数的质数包括（OEIS中的数列编号为A001913）

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …

这个数列中所有的数

满足10是

的模

原根，Emil Artin猜想称37.395..%的质数属于这个数列。

构造

循环数可以用程序构造，伪代码如下（其中

的定义上文已给出）

这个程序通过使用长除法计算

的数位构造。

是每一步的余数，

是产生的数。

若

, 则这个数必定为循环数, 无需继续计算后面部分了。

性质

乘以产生一个循环数的质数时，结果会是一系列的9.如

。

如果将其按位划分成若干等长份并加在一起，结果会是一系列的9.这是Midy定理的特殊情况。如

所有的循环数都是9的倍数。

其他进制

二进制

01

0011

0001011101

000100111011

000011010111100101

三进制

0121

010212

0011202122110201

001102100221120122

0002210102011122200121202111

八进制

25

1463

0564272135

0215173454106475626043236713

0115220717545336140465103476625570602324416373126743

十二进制

2497

186A35

08579214B36429A7

二十四进制

3A6LDH

248HAMKF6D

1L795CN3GEJB

19M45FCGNE2KJ8B7

可以证明当

为完全平方数时，不存在长度超过1的循环数。