标准纬线

标准纬线是地图上经投影后保持无变形的纬线。正轴圆锥投影和正轴圆柱投影中，当圆锥面或圆柱面与地球椭球体相切时，有一条标准纬线，相割时，有两条标准纬线。方位投影中，标准纬线即为割纬线（或割等高圈）。

概念

标准纬线可根据制图区域而定，也可根据投影条件图解求得。编制中国全图时，通常采用双标准纬线圆锥投影，两条标准纬线一般取：25°00′、47°00′。

一种基于标准纬线变更的瓦片索引方法

瓦片金字塔模型技术是电子地图发布的主要技术手段之一，它采用预生成思想将地图进行横向分块和纵向分级，然后根据用户请求，动态检索相应的地图瓦片并自动完成调度与拼接。国内外学者对瓦片金字塔模型的空间划分和索引方法进行了大量研究，但很少涉及地图瓦片的投影变形问题。在电子地图的多尺度表达中，瓦片索引本质上是地图投影变换和空间索引的融合运用，索引模型的建立需要根据电子地图所要表达的区域和范围特点，进行适当的投影变换或变形纠正，以达到客观表达现实世界的目的。因此，地图投影变换机制下的瓦片索引方法研究是适应新型地图产品而派生的新的研究领域，也是地图投影学研究的一个延伸。

地图瓦片索引与投影变形

地图瓦片索引的建立过程主要包括以下两个步骤：①选择地图投影；②结合投影变换和空间索引建立瓦片索引模型。WebMercator投影和Plattecarree投影在基于瓦片索引技术的网络电子地图发布中应用非常广泛。由于任何投影变换都会产生不同程度的变形，包括经线的长度变形比m、纬线的长度变形比n、面积P和角度ω的变形。

基于标准纬线变更的瓦片索引算法

建立在WebMercator和Plattecarree两种投影基础上的瓦片索引方法应用最为广泛。但当其应用于世界范围的电子地图表达时，高纬度地区存在严重的投影变形。为实现算法简单且变形程度相对较小的瓦片索引算法，本研究在等距圆柱投影的基础上，实现了一种间断性变更标准纬线的非固定倍率瓦片索引方法。

（1）算法设计要求

在算法的具体设计过程中，既要减小投影变形，又要避免拼合瓦片时可能引起的“裂缝”。消除相邻瓦片之间的“裂缝”，需要在同一级别的瓦片划分过程中保证每一行瓦片跨越的纬度或每一列瓦片跨越的经度相等。

（2）等角条件约束

假定地球为球体，地球的半径为R，则有：

每一纬度跨越的距离=πR/180

每一经度跨越的距离=πR/180cosα

瓦片的长宽是固定的，当它代表的经纬度满足实际的长宽比例关系时，就能保证地理要素不发生角度变形。定义具有等角条件的纬度线为标准纬线，并在其适用的纬度带内定义瓦片代表的经纬度数值。如以武汉市（29°58′N～31°22′N）为例，可定义标准纬线为30°40′N。当表达世界地图时，为计算的方便，采用0°、±10°、±20°、±30°、±40°、±50°、±60°作为标准纬线，分别用于计算标准纬线±5°范围的纬度步长。瓦片金字塔的经度步长数组采用非等比数列{90，40，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，…，n}，不同纬度带地图瓦片跨越的纬度步长等于对应的经度步长乘以该纬度带内标准纬线纬度的余弦值。

（3）标准纬线的分带与特征值计算

在纬度带相邻处，瓦片所代表的纬度数值需取分界线的纬度，以避免拼接时“裂缝”现象的发生。因此，在瓦片划分过程中，标准纬线所控制计算的区域并非严格按照±5°的纬度带处理，而是取相邻纬度带边界的具体纬度值。在纬度高于55°的纬度范围内，采用当前经度乘以cos60°作为纬线方向的步长。

以全球范围的2、3级的瓦片划分为例，第2级瓦片在北半球将分为3个纬度带：0°～40°，40°～40°×（1+cos40°），40°×（1+cos40°）～40°×（1+cos40°+cos60°）。按照cos40°=0.766计算，3个纬度带分别为：0°～40°，40°～70.64°，70.64°～90.64°。北半球最高纬度为90°，因此，划分后的瓦片需要进行垂直方向（90°－70.64°）/（40°×cos60°）的压缩，压缩率大约为0.97。而第3级北半球最高纬度的拼接处纬度值为86.97°，瓦片垂直方向压缩率为（90°－86.97°）/（20°×cos60°）=0.303。

研究结论

间断性变更标准纬线的索引方法所引发的地图变形与WebMercator投影和Plattecarree投影相比，具有以下特点。

1）在经线方向，该算法引起的变形呈不连续跳跃式增长，总体变形程度明显优于WebMercator投影；

2）在纬线方向，3种算法引起的变形相同；

3）在面积变形方面，该算法引起的变形程度处于WebMercator投影与Plattecarree投影之间，面积总体变形相对较小；

4）在角度变形方面，该算法引起的变形呈回归曲线型跳跃式增长，在标准纬线处为零，在纬度带分界处达到周期最高值，整体角度变形明显优于Plattecarree投影。

一种正轴等角割圆锥投影标准纬线的求算方法

在正轴等角割圆锥投影的建立过程中，人们通常需要预先指定制图区域内一条或两条投影后无长度变形的纬线作为地图投影的标准纬线。比如，在很多知名GIS软件和RS软件中要创建正轴等角割圆锥投影则须预先指定其标准纬线；有时候也需要根据现有的地图投影或地图来确定其标准纬线的位置。但是，对这一条或两条标准纬线位置的确定，尚无精确、通用且快捷的方法。由于制图区域南北跨度、不同制图要求下地球椭球体参数以及变形条件的差异，不同情况下标准纬线的经验公式之间也存在着较大差别。这些经验公式不可能在任何变形条件下都通用。求算精度相对较高的图解法等近似方法由于计算量大，提出之后没有被立即转换为计算机算法，因此未被广泛采用。为此，本文基于分级遍历的思想提出了一种在任何变形条件下都通用，且满足任意精度要求的求算正轴等角割圆锥投影标准纬线的算法。

常规确定方法

在Gauss提出等角割圆锥投影的严格公式之前，法国人使用它的近似公式作为军事地图的数学基础，他们通常指定制图区域距南北边纬线向制图区域中心各1/6处作为标准纬线。与六分法不同，用四分法确定标准纬线的方法在国内的教科书中十分常见：取制图区域距南北边纬线向制图区域中心各1/4处为投影的标准纬线。

对纬度跨度固定的地图，如1∶100万地形图，也可采用绝对值作为标准纬线与边纬线的距离。如，国际上规定1∶100万地图的标准纬线为：

φ=φ+40′

φ=φ-40′

式中：φ表示第一条标准纬线；φ表示第二条标准纬线；φ表示北边纬线；φ表示南边纬线。

国内采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的正轴等角割圆锥投影作为1∶100万地形图的数学基础：

φ≈φ+35′

φ≈φ-35′

如果需要较为精确地确定等角割圆锥投影标准纬线的位置，可以采用图解法。具体做法：由已知条件计算投影常数α、K和投影的纬圈半径ρ，并计算出各条纬线的长度比，再以纬度φ和长度比n为坐标轴画出长度比曲线，从而根据长度比曲线解出标准纬线。

也可以常用的制图区域建立这些区域的投影集，在需要时查投影集得出标准纬线，这实际上是对图解法等近似方法的进一步应用。建立投影集的方法显然不能满足所有制图区域及一些特殊变形条件下对标准纬线的求算要求。

分级遍历法确定等角割圆锥投影的标准纬线

分级遍历法的基本思想是：根据变形条件求算出α和K，并将求算精度划分为若干等级，再以α和K为依据，从特定的纬线开始，以划分好的不同精度由粗到精依此遍历求算各条纬线上长度比n的值，n值最接近1处的纬线即定为标准纬线。在分级精度中，最高精度决定了标准纬线的求算精度，当最高精度无限接近于0时，可认为得到了标准纬线的严格解。具体算法为：

1)根据一定的变形条件，求算出投影常数α和K值。

2)对给定的求算精度λ，选定λ>λ>…>λ>0，使λ=λ。

3)参照经验公式，初步确定标准纬线φ和φ。

4)如果长度比n(φ)>1，则以λ为步长向北遍历，求取纬线φ，使n(φ)≤1，比较n(φ)和n(φ+λ)，取n值更接近于1的纬线为φ′。如果n(φ)<1，则以λ为步长向南遍历，求取纬线φ，使n(φ)≥1，比较n(φ)和n(φ-λ)，取n值更接近于1的纬线为φ′。在遍历过程中，如果纬度φ处n值恰好等于1，则停止遍历，直接指定φ为第一条标准纬线的纬度。

5)以λ为步长，重复上一步，由n值更接近于1的纬线代替原φ′。

6)依此类推，直到以λ为步长的遍历完成，并得出新的φ′。

7)最后得出的φ′即为第一条标准纬线φ。

研究结论

表1 不同方法的结果比较( 以中国陆地部分为例)

分级遍历法算法简单，计算机实现容易，可以满足任意 精度要求、任何变形条件下标准纬线的求算要求。例如，求算中国陆地部分(18°09′N～53°33′N)正轴等角割圆锥投影的标准纬线，采用克拉索夫斯基椭球体，要求投影区域边缘纬线与最小长度比纬线变形绝对值相等，求算精度为1×10-10°，测试得出只需要遍历纬线66条，运算耗时平均约0.02 s。求算精度远远大于任何现有理论及实践工作的需要，运算耗时几乎可以忽略不计。在极高求算精度下，求算的准确性主要取决于地球椭球体参数以及圆周率π的取值。

表1是对分级遍历法和一些常规方法求算中国陆地部分标准纬线的结果的比较。由表1可以看出，由于采用了精确的计算方法而不是纯粹采用经验公式来确定标准纬线，用分级遍历法所求得的标准纬线与用传统方法得出的标准纬线存在着一定差别；同时，它也更能够满足正轴等角割圆锥投影的特殊变形尤其是均匀变形的需要。如果需要对标准纬线进行精确求算，或者对尚没有对其正轴等角割圆锥投影展开专门研究的区域(如中国西北干旱半干旱地区等)进行正轴等角割圆锥投影，可以使用本方法。同时，由于割圆锥投影各纬线上的长度比都呈现出在标准纬线之间小于1，在标准纬线之外大于1，且距离标准纬线越远，长度变形就越大的特点。因此，本算法稍加改变，也同样适用于其它割圆锥投影标准纬线的求算。