模运算

“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

举例

，值为1

上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：

Turbo Pascal对mod的解释是这样的：

A Mod

（div含义为整除）

概念及性质

本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。

基本概念

给定一个正整数

，任意一个整数

，一定存在等式；

其中 k、r是整数，且

，称

为

除以

的商，

为

除以

的余数。

对于正整数和整数

,

，定义如下运算：

取模运算：

，表示a除以p的余数。

模p加法：

，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，

，则

。

模p减法：

，其结果是

算术差除以p的余数。

模p乘法：

，其结果是

算术乘法除以p的余数。

说明：

1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做

p或者

。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定，与p无关。例如：

(在java、C/C++中％是取余，在python是模运算，此处％按取余处理)。

基本性质

（1）若

，则

。例如

，

（2）

意味

（3）对称性：

等价于

（4）传递性：若

且

，则

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

（1）

（2）

（3）

（4）

结合律：

交换律：

（7）

（8）

分配律：

（9）

重要定理：

若

，则对于任意的c，都有

（10）

若

，则对于任意的

，都有

（11）

若

，则

（12）

基本应用

判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。已知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：

判别素数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如

是质数，而

则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

实现功能函数：

/*函数名：IsPrime

函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：int n，自然数n

返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false*/

#include

bool IsPrime(unsigned n)

{

unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

for

{

if (!(n % i)) //n能被i整除，则说明n非素数

return false;

}

return true;

}

最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：

证明：a可以表示成

，则

假设d是a,b的一个公约数，则有

，而

，因此

因此d是

的公约数

假设d 是

的公约数，则

，但是

因此d也是(a,b)的公约数

因此

和

的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：

unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

if (b)

return Gcd(b , a % b);

return a;

}

/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：

unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：

unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

unsigned temp;

while (b)

{

;

}

return a;

}

模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把

的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是

，所以问题就简化了。

根据运算规则（4）

，我们知道

。由于

。

根据运算规则（3）

，由于

，我们得到

。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算

。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用％运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么

；

如果N是奇数，那么

；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

/*函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算

函数名：PowerMod

输入值：

unsigned int x，底数x

unsigned int n，指数n

unsigned int p，模p

返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果*/

unsigned PowerMod(unsigned x , unsigned n , unsigned p)

{

if (!n)

return 1;

unsigned temp = PowerMod((x * x) % p ,

, p); //递归计算（X*X）^[N/2]

if (n & 1) //判断n的奇偶性

temp = (temp * x) % p;

return temp;

}

孙子问题(中国剩余定理)

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”。关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”。

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，可以把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：

/*函数名：ResidueTheorem

函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除数

输入值：

unsigned int devisor[]，存储了n个除数的数组

unsigned int remainder[]，存储了n个余数的数组

int length，数组的长度

返回值：

unsigned int，最小被除数*/

unsigned ResidueTheorem(const unsigned devisor[] , const unsigned remainder[] , int length)

{

unsigned product = 1; //所有除数之乘积

for (int

; i

product *= devisor[i];//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数

unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

for (int i=0 ; i

commonMultiple[i] = product / devisor[i];

unsigned dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值

for (int i=0 ; i

{

unsigned tempMul = commonMultiple[i];//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1

while (tempMul % devisor[i] != 1)

tempMul += commonMultiple[i];

dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数

}

delete []commonMultiple;

return (dividend % product); //返回最小被除数}凯撒密码

}

凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以看成是a。

例如，当密匙为

，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：

在这里，可以做一约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），

解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里

,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：

（其中n为基本字符个数）

同样，解密过程可表示为：

（其中n为基本字符个数）

C++实现功能函数：

/*函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文

函数名：Encrypt

输入值：

const char proclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串

char cryptograph[]，用来存储密文的字符串

int keyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移

返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回*/

#include

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[] , char cryptograph[] , int key)

{

const int NUM = 26; //字母个数

int len = strlen(proclaimedInWriting);

for (int i=0 ; i

{

if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')//明码是大写字母，则密码也为大写字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')//明码是小写字母，则密码也为小写字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

else//明码不是字母，则密码与明码相同

cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

}

cryptograph[len] = '\0';

}

/*函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文

函数名：Decode

输入值：

char proclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串

const char cryptograph[]，存储了密文的字符串

int keyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）

返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回*/

#include

void Decode(const char cryptograph[] , char proclaimedInWriting[] , int key)

{

const int NUM = 26; //字母个数

int len = strlen(cryptograph);

for (int i=0 ; i

{

if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')//密码是小写字母，则明码也为小写字母

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

else//密码不是字母，则明码与密码相同

proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

}

proclaimedInWriting[len] = '\0';

}

总结

模运算及其简单应用差不多就这么多了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，这些只是一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。