平行四边形的判定

性质

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD AD∥BC

AB=CD AD=BC

∠A=∠C ∠B=∠D

此中未体现对角线平分与邻角互补

判定方法

平行四边形的判定方法

（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

辅助线

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

面积、周长

1、（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα。

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

类别

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属于四边形。

3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。

4、平行四边形属于中心对称图形。

例题

例1

已知，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD。求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：∵∠A=∠C，AB∥CD

∴∠B=∠D(等角的补角相等）

∵∠A=∠C且∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）

例2

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．

（1）若AO⊥BD，试求四边形ABCD的面积；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ

AC=a ，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．

解：（1）∵AC⊥BD

∴四边形ABCD的面积S=1/2AC×BD

=1/2×10×8

=40

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E

∵四边形ABCD为平行四边形AO=CO=1/2AC=5，

BO=DO=1/2BD=4

在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AB/AO

∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sin60°=5×√3/2=5√3/2

∴S△AOD=1/2OD×AE=1/2×4×√3/2×5=5√3

∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20√3

(3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F在Rt⊿AOE中，sin∠AOE=AE/AO

∴AE=AO×sin∠AOE=AO×sinq

同理可得CF=CO×sin∠COF=CO×sinq

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=1/2BD×AE+1/2BD×CF

=1/2BD×sinq（AO+CO）

=1/2BD×ACsinq

=1/2absinq

〔3〕如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得，CE∥AF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．

解答：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AE∥CF，

又CE∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形．

例3

在四边形ABCD中，已知∠A=∠C，∠B=∠D,求证四边形ABCD为平行四边形。

证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°

∴2（∠A+∠B）=360°

∴∠A+∠B=180°

即AD∥BC

同理，可得AB∥CD

∴四边形ABCD为平行四边形

过平行四边形对角线的交点任一直线平分平行四边形的面积。

例4

已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC,CD,DA,AC,BD的中点分别是E,F,G,H,P,Q（1）若四边形ABCD如图①，判断一些结论是否正确（要写出为什么）甲：顺次连接E,F,G,H一定得到平行四边形。乙;顺次连接E,Q,G,P一定得到平行四边形。（2）若四边形ABCD如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立（也要写出理由，有过程）

答(1)甲：一定会得到平行四边形因为E,F,G,H分别为AB,BC,CD，DA中点所以EF=0.5AC=GH GF=0.5BD=EH(且平行，因为三角形两条边的中点的连线平行且等于另外一条边的一半。）所以EF平行且等于GH GF平行且等于EH所以连接EFGH会得到一个平行四边形。

乙：因为E,Q,G,P分别为AB,BD,CD，CA中点所以EQ平行且等于0.5AD平行且等于GPGQ平行且等于0.5BC平行且等于EP所以EQ平行且等于GPGQ平行且等于EP所以连接EQGP会得到一个平行四边形。