对称点（数学概念）-趣爱秀

解题方法

n1、当直线与x轴垂直

由轴对称的性质可得，y=b,AA‘的中点在直线x=k上，则，

a+x）/2=k,x=2k-a

所以易求A’的坐标（2k-a，b）

2、当直线与y轴垂直

由轴对称的性质可得，x=a,BB’的中点在直线y=k上，则，

（y+b）/2=k,y=2k-b

所以易求B’的坐标（a，2k-b）

3、当直线为一般直线，即其一般形式可表示为y=kx+b。

设所求对称点A的坐标为(a，b)。根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。

因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.

例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一：由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.由点到直线距离公式，得，

即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c=-38故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二：在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）.

将B（8，2）代入，解得c=-38.

点评：解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例：求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析：由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解：根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），

将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，

故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评：将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路.另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

点关于点对称点画法

连接两点AB并延长至另外一点A‘使得A'B=AB即可

点关于直线对称点画法

过点作直线的垂线并延长至A'，使它们到直线的距离相等即可

直线关于点对称直线画法

同样过点作直线垂线，然后再点的另外一旁截取相等距离的点，过这点作直线的平行直线即可

直线关于直线对称直线画法

在直线上取2点关于直线对称，用点关于直线对称的画法，然后连接两点即可