链式法则

链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。[1]

介绍

链式法则是求复合函数的导数（偏导数）的法则，若 I，J 是直线上的开区间，函数 f(x) 在 I 上有定义处可微，函数 g(y) 在 J 上有定义 ，在 f(a) 处可微，则复合函数在 a 处可微(  在 I 上有定义)，且.若记 u=g(y),y=f(x)，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，则在 I 上任意点 x 有

即 ，或写出

这个结论可推广到任意有限个函数复合到情形，于是复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

基本性质

若多元函数 u=g(y1,y2,...,ym) 在点 ?=(b1,b2,...,bm) 处可微，bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m)，每个函数 fi(x1,x2,...,xn) 在点 (a1,a2,...,an) 处都可微，则函数 u=g(f1(x1,x2,...,xn)，f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 处可微，且

这就是多元函数的链式法则，若同时考察一组（p 个）复合函数 u1,u2,...,up，其中 uk=gk(fi(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p)，将它们的偏导数写成矩阵（雅可比矩阵)，则可以看到链式法则在形式上更有规律性，这时

若对于上面考察的这些函数，令 ，，于是，? 是 p 维向量值函数（定义与  的子集上），? 是 m 维向量值函数（定义于 的子集上），按照定义，它们的导数是相应的雅可比矩阵，

（等式右端为两矩阵?‘ (? (?)) 与?‘ (?) 的矩阵乘积），其中.这就是向量值函数的链式法则，它在形式上与一元函数的链式法则完全相同。

例题

求导 

链式求导：令 

则   即可求得。

在实际应用中，可将  看作是分数的约分过程，这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。