三角形外心

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。[1]三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

共点证明

∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线

∴AF=BF=CF

∴BC中垂线必过点F

性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

（3）钝角三角形的外心在三角形外.

（4）等边三角形外心与内心为同一点。

性质2：∠BGC=2∠A

性质3：∠GAC+∠B=90°

证明：如图2所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）

∵A、C、B、P四点共圆

∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90°

∴∠GAC+∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是非直角⊿ABC外心的充要条件是：

（1）向量PG=（(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC）/2(tanA+tanB+tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0

做法

分别作三角形两边的中垂线交点计作O以O为圆心OA为半径画圆

圆O即为所求

求法

设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C

正弦定理有1)2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)

由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）

r=abc/（4S△ABC）

三角形外心的向量关系

向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）