单调性

单调性是函数中的一个概念，它是指函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。[1]

名称介绍

函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

基本方法

先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下. 　　

1.把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般（初学最好用定义）用定义（谨防循环论证），如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 　　

2.熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 　　

3.高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 

一般的，求函数单调性有如下几个步骤： 　　

1、取值X1,X2属于{？}，并使X1

2、作差f(x1)-f(x2) 　　

3、变形 　　

4、定号（判断f(x1)-f(x2)的正负） 　　

5、下结论

判断复合函数的单调性

1.导数 　　

2.构造基本初等函数（已知单调性的函数） 　　

3.复合函数 根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数。 　　

4.定义法 　　

5.数形结合 　　

复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的,那么函数就是增函数（2）一个是减一个是增,那就是减函数（3）两个都是减,那就是增函数

复合函数求导公式

F'(g(x))=[F(g(x+dx))-F(g(x))]/dx......(1)g(x+dx)-g(x)=g'(x)*dx=dg(x)........(2)g(x+dx)=g(x)+dg(x).........(3)F'(g(x))=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dx=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dg(x)*dg(x)/dx=F'(g)*g'(x)

特征

一般地，设函数f(x)的定义域为I： 

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)。那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

基本性质

⒈增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

⒉单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

规律

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。 

注：在单调性中有如下性质。

图例：↑（增函数）↓（减函数） 

↑+↑=↑　两个增函数之和仍为增函数 

↑-↓=↑　增函数减去减函数为增函数 

↓+↓=↓　两个减函数之和仍为减函数 

↓-↑=↓　减函数减去增函数为减函数

复合函数

在函数y=f[g(x)]的定义域内，令u=g(x)，则y=f[g(x)]的单调性由u=g(x)与y=f(u)的单调性共同确定，方法如下

u=g(x)    y=f(u)    y=f[g(x)]

增函数    增函数     增函数

减函数    减函数     增函数

增函数    减函数     减函数

减函数    增函数     减函数

因此，复合函数的单调性可用“同增异减”来判定，但要考虑某些特殊函数的定义域。

注：y=f(x)+g(x)不属于复合函数，因此不在此方法的适用范围内。

例题解析

判断函数的单调性y=1/(x^2-2x-3)。 

设x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0， 

解得：x=3或x=-1， 

当x>3和x<-1时，t>0， 

当-1

所以得到x^2-2x-1对称轴是1。 

根据反比例函数性质： 

在整个定义域上是1/t是减函数。 

当t>0时，x>3时， 

t是增函数，1/t是减函数， 

所以（3，+∞）是减区间， 

而x<-1时，t是减函数， 

所以1/t是增函数。 

因此（-∞，-1）是增区间， 

当x<0时，-1

所以1/t是增函数，因此（-1，1）是增区间， 

而1

因此（1，3）是减区间， 

得到增区间是（-∞，-1）和（-1，1），（1，3）和（3，+∞）是减区间。