奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（oddfunction）。奇函数的定义域必须关于原点（0，0）对称，否则不能成为奇函数。设f(x)在I上可导，若f(x)在I上为奇函数，则f'(x)在I上为偶函数。当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

函数定义

在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的符号相反且绝对值相等，即f(-x)=-f(x)，反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f（x）一定是奇函数。例如:f(x)=x^(2n-1),n∈Z;(f(x)等于x的2n-1次方,n属于整数) 。

函数性质

1、奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

2、奇函数的定义域必须关于原点（0，0）对称，否则不能成为奇函数。

3、若F(X)为奇函数，定义域中含有0，则F(0)=0。

4、设f(x)在I上可导，若f(x)在I上为奇函数，则f'(x)在I上为偶函数。

即f(x)=-f(-x)对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

运算法则

(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数。 

(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数。 

(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇非偶函数。 

(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数。 

(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数。 

(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。 

(7)若f(x)为奇函数，且f(x)在x=0时有定义，那么一定有f(0)=0。 

(8)定义在R上的奇函数f（x）必定满足f(0)=0。 

(9)当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

 

(10)奇函数在对称区间上的积分为零。 

函数特点

(1)奇函数的图象关于原点中心对称。 

(2)偶函数的图象关于Y轴对称。 

(3)奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。

(4)奇函数的偶次项系数等于0，偶函数的奇次项系数等于0。 

(5)Y=0即是X轴，既是奇函数也是偶函数。

函数例子

奇函数：F（X）=-F(-X)，当在x=0处有定义时，有F（0）=0。常见的奇函数有F（X）=sinX。

偶函数图象关于Y轴对称，F（x）=F（-X），如F（X）=cosX 。

对于函数y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)，当a=0,b=0,c=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当b∈R,a=0,c=0时，f(x)是奇函数；当a∈实数R,b=0,c∈实数R时，f(x)是偶函数。