证明:因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M和m表示,分两种情况讨论:
1.若M=m,则函数f(x)在闭区间[a,b]上必为常数,结论显然成立。
2.若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值费马引理点,由条件f(x)在开区间(a,b)内可导得f(x)在ξ处可导,故由推知:f'(ξ)=0。
若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等,则在弧AB上至少有一点C,使曲线在C点处的切线平行于x轴。
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